Falando Sobre π (Pi)

Hoje vou falar um pouco sobre π (pi) esse número tão encantador para a matemática e que possui uma grande quantidade de curiosidades interessantes a seu respeito.

Curiosidades

Ele possui uma data para sua comemoração: dia 14 de março, que em inglês se escreve 3/14. Os mais fanáticos comemoram à 1h59m26s para fazer uma homenagem mais precisa, afinal, π = 3,141515926. Por coincidência, quem nasceu neste dia, no ano de 1879 foi o meu grande heroi, Albert Einstein, na cidade de Ulm, sul da Alemanha.

Tanto torta quanto π possuem a mesma pronúncia na língua inglesa, o que nos remete a ideia de celebrar a data com uma torta. Nada mais justo!

Tem até um site comemorativo para o Dia do π com atrações e informações bem divertidas! Dentre outras, o site mostra o valor de π com 10 milhões de casas decimais!
https://www.piday.org/

Para conseguir decorar valores longos de pi, começaram a ser inventadas mnemônicos, como este, com 23 casas decimais, em que o número das letras de cada palavra representa um algarismo:
“How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard…:”
3.14159265358979323846264…

Diversas músicas já foram feitas em homenagem ao número em epígrafe mas como nosso assunto são mnemônicos quero destacar essa do canal AsapScience, o qual sou muito fã por conta suas paródias científicas e recomendo a todos que os sigam.

Ainda falando de música, o auto do canal A Song Scout compôes esta canção, na qual ele atribui para cada nota musica um valor numérico e então tocou o valor de π.

Saindo da área da música e vindo para a tecnologia poderia citar inúmeras aplicações que dependem de π, então vou citar algo bem popular atualmente: Para o seu perfeito funcionamento a rede de satélites GPS utiliza o valor π em seus cálculos com precisão de 15 casas decimais.

O Valor de π

Logo que comecei a programar, as linguagens de programação não possuíam um valor nativo para π. Era necessário informar isso manualmente. Durante muito tempo eu fazia a definição de uma constante e inseria nela o valor de π, que era digitado manualmente. Depois de algum tempo descobri um atalho, descobri que podia encontrar o valor di π multiplicando por 4 o arco-tangente de 1, ou seja, Pi = 4*Atn(1). Hoje, programando na plataforma .net não tenho mais tal preocupação pois tal valor pode ser encontrado utilizando Math.Pi().

'Sem .net:
Dim Pi As Double
Pi = 4*Atn(1)

'Com .net:
Dim Pi As Double = Math.Pi()

Mas como, de verdade, o valor de π foi encontrado? Eis o que descobri:

A primeira referência ao valor de π (pi) aparece na Bíblia, no Primeiro Livro dos Reis, capítulo 7, versículo 23: “Fez mais o mar de fundição, de dez côvados, de uma borda até à outra borda, redondo ao redor, e de cinco côvados ao alto; e um cordão de trinta côvados o cingia, em redor.” Aqui, o valor de π é 3.

Desde sempre, este número mágico despertou a atenção dos estudiosos. Os historiadores calculam que, desde 2000 A.C os homens têm consciência de que a razão entre a circunferência e o seu diâmetro é igual para todos os círculos. Deram conta que, se duplicarem a distância através de um círculo, então também a distância em volta dele é igual ao dobro. Em notação algébrica, diremos que

em que o valor de π é constante. Note-se que o nome “pi”, usando a letra grega, só foi introduzido em 1706 por William Jones (1675-1749).

O valor exato de π desde cedo despertou o interesse dos matemáticos. Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.) chegou ao valor de 22/7 ou seja 3,142857…

Só no século XVIII é que se provou que π é um número irracional, isto é que não pode ser expresso como uma fração, própria ou imprópria. Em termos práticos, isso significa que o número de casas decimais que π pode ter é infinito.

No sec. XIX, demonstrou-se que π é um número transcendental, isto é, não pode ser expresso por uma equação algébrica com coeficientes racionais.

Como corolário, deve dizer-se que é impossível fazer a “quadratura do círculo”, isto é, desenhar um quadrado com o mesmo perímetro de determinado círculo.

Na tabela abaixo é possível seguir os progressos feitos no cálculo do valor de π. Só no século XX, nos anos 50, é que se começaram a utilizar computadores para o cálculo das casas decimais de π.

Hoje é possível calculá-lo com mais de dez bilhões de casas decimais (para quê?) Eis algumas das fórmulas utilizadas para calcular o valor de π em computador:

François Viète (1540-1603) determinou que:

John Wallis (1616-1703) mostrou que:

Euler (1707-1783) construiu esta fórmula:

Referências:

A history of Pi

Squaring the circle

Artigo de Arlindo Correia

Curiosidades Matemáticas

Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi foi um matemático árabe nascido em Bagdad por volta de 780 e faleceu em 850. Do seu nome derivam as palavras “algarismo” em português e “guarismo” em castelhano. Além disso, escreveu um livro chamado “al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa’l-muqabala”, traduzido para inglês com o título “The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing”. De Al jabr, vem o nome Álgebra. Também é sabido que Al-Khwarizmi escreveu um livro que desapareceu, mas chegou até nós uma tradução latina com o título “Algoritmi de numero Indorum”, ou seja, “Al-Khwarizmi sobre o modo Hindu de contar” e do nome latino que ali lhe deram derivou o termo “algoritmo”.

Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração própria ou imprópria. Fração própria é a que tem o numerador inferior ao denominador. Fração imprópria é aquela em que o numerador é maior ou igual ao denominador. O numerador e o denominador são, evidentemente, inteiros.

Um número primo é um número maior do que 1, que não é divisível por nenhum número inteiro positivo, que não seja 1 ou o próprio número. Um número composto é um número inteiro positivo diferente de 1 e que não é número primo.

Os números transcendentais não podem ser expressos como sendo a raiz de qualquer equação algébrica, com coeficientes racionais. O número π pode ser expresso através de uma fração que não tem fim ou como o limite de uma série infinita. A fração 355/113 expressa o valor de π com exatidão até seis casas decimais.

Em 1882, o matemático alemão F. Lindemann provou que π é transcendental, acabando com 2 500 anos de especulação. Com efeito, provou que π transcende o poder de a álgebra o representar na sua totalidade. Não pode ser representado através de qualquer série finita de operações aritméticas ou algébricas. Não pode ser escrito num pedaço de papel tão grande como o universo.

Valor de π com 10 Mil Casas Decimais

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862 089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811 174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337 867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066 063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469 519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495 673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907 021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277 857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235 420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499 510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100 031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823 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